以下是群、环、域和模的基础定义。这些都是抽象代数中的重要概念，每个都有不同的代数结构和运算规则。
1. 群（Group）
群是一个集合和一个二元运算的代数结构，满足以下条件：
封闭性：对于任意 a, b \in G，有 a \cdot b \in G
结合律：对于任意 a, b, c \in G，有 (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)
单位元：存在一个单位元 e \in G，对于任意 a \in G，有 e \cdot a = a \cdot e = a
逆元：对于任意 a \in G，存在一个逆元 a^{-1} \in G，使得 a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e
如果还满足交换律 a \cdot b = b \cdot a 对于所有 a, b \in G，则称为交换群或阿贝尔群
例子：
- 整数集合 \mathbb{Z} 在加法下构成一个交换群，单位元是 0，逆元是负数
- 非零实数集合 \mathbb{R}^* 在乘法下构成一个群，单位元是 1，逆元是数的倒数
2. 环（Ring）
环是一个集合，配备了两个二元运算：加法和乘法。环中的元素必须满足以下条件：
加法构成交换群：环中的加法形成一个交换群（有单位元、逆元和交换性）
乘法封闭性：环中对任意元素 a, b \in R，有 a \cdot b \in R
乘法结合律：对于任意 a, b, c \in R，有 (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)
乘法分配律：乘法对加法满足分配律，即 a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c 和 (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c
如果乘法也满足交换律 a \cdot b = b \cdot a 对于所有 a, b \in R，则称为交换环
环不要求每个非零元素有乘法逆元，也不要求乘法有单位元
例子：
- 整数集合 \mathbb{Z} 在加法和乘法下构成一个交换环
- 矩阵集合 M_n(\mathbb{R}) （实数 n \times n 矩阵）在加法和矩阵乘法下构成一个环（不是交换环，因为矩阵乘法不交换）
3. 域（Field）
域是一个环的特例，它要求在加法和乘法下满足更强的条件。域中的元素不仅可以进行加法和乘法，还能进行除法（除了除以零）。一个域必须满足以下条件：
加法构成交换群：域中的加法构成一个交换群，单位元为 0
乘法构成交换群（除零元外）：域中的非零元素在乘法下构成一个交换群，单位元为 1。对于任意非零元素 a \in F，存在一个乘法逆元 a^{-1}，使得 a \cdot a^{-1} = 1
分配律：乘法对加法满足分配律
例子：
- 实数集合 \mathbb{R} 和有理数集合 \mathbb{Q} 都是域
- 复数集合 \mathbb{C} 也是一个域
- 有限域 \mathbb{F}_p，其中 p 是素数，定义在模 p 加法和乘法上，是一个有限域
4. 模（Module）
模是向量空间的广义概念。与向量空间类似，模中的元素可以进行加法和标量乘法，但模中的标量来自一个环而不是域。模的定义类似于向量空间，但它只要求标量来自环，因此模比向量空间更广泛。
模的定义：
一个模是一个集合 M，配备了两个运算：
- 加法：模中的元素可以相加，满足交换群的公理。
- 标量乘法：环中的标量可以与模中的元素相乘，满足结合律和分配律。
例子：
- 整数集合 \mathbb{Z} 在自身上构成一个模。
- 矩阵空间 M_n(\mathbb{Z}) 是一个模，其中标量来自于环 \mathbb{Z}，矩阵中的元素来自于整数。
总结：
- 群：一个集合，定义了一个封闭的二元运算（加法或乘法），并且每个元素都有逆元
- 环：包含两个运算（加法和乘法），但不要求每个非零元素都有乘法逆元
- 域：一个特殊的环，非零元素在乘法下也构成群，即可以进行除法（除零外）
- 模：类似于向量空间，但标量来自环而非域，因此更为广泛